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[数控双头铣床坐标计算]协变坐标与逆变坐标计算

作者:安尼      发布时间:2021-04-16      浏览量:0
狭义相对论 是一套用

狭义相对论 是一套用来描述运动速度接近光速的质点运动学规律的理论,由Einstein在1905年独立提出。粒子物理研究的粒子都是质量特别小,运动速度特别快的粒子。如光子以光速运动,电子、 子也都以接近光速运动。我们要描述这些粒子的运动就需要使用狭义相对论。

这部分首先介绍高速运动下的 Lorentz变换 ,随后引出 协变四矢量 逆变四矢量 以及它们之间的运算,最终得到描述高速粒子运动的 能量-动量四矢量 质壳方程

Lorentz变换

假设有两个惯性系 系和 系,其中 系的原点沿着 系的 轴正方向以速度 (大小为 )运动。我们用两组坐标描述同一个质点在这两个惯性系中的坐标和时间,其中 是质点在 系的坐标和时间, 是质点在 系的坐标和时间。狭义相对论告诉我们,两组坐标之间之间的变换是 Lorentz变换(Lorentz trasformation)

其中 , 为光速。

Lorentz变换有一系列重要的结论,可以参考狭义相对论相关教材。但是这些结果对计算BQEDP帮助不大,不在此赘述。

四矢量

为了更加简便的表述Lorentz变换,我们定义一组 协变四矢量 (covariant four-vector)或者 协变坐标 (covariant coordinates),用符号 表示,即

利用协变坐标,我们可以把Lorentz变换写成:

其中 。我们还能将Lorentz变换写成更加紧凑的形式:

说明:(1) 是矩阵 第 列第 行的矩阵元:

(2)我们使用了 Einstein求和规则 ,右式 中指标 出现了两次(称为 哑指标 ),表示要对指标 从 到 求和,即省略了 。

Lorentz变换中,变换前后有一个量不会发生变化,我们称之为 不变量 (invariant)。这个量记为 ,可以证明:

为了简化这个表达式,我们定义一个矩阵 ,称为 Minkowski度规 (the Minkowski metric):

利用Einstein求和规则表述不变量

进一步,我们定义 逆变四矢量 (contravariant four-vector)或 逆变坐标 (contravariant ordinates) ,将不变量写得更加简洁些:

其中逆变坐标定义为: .

即 。而上式也是协变坐标变换为逆变坐标的变换公式,两者通过Minkowski度规联系。同时得到 ,其中 。

我们接下来讨论更加一般的情况。如果我们给定两个四矢量写成 和 ,我们可以定义它们之间的 标量积 (scalar product):

我们使用符号 表示四矢量 与自己的标量积:

至此我们介绍了一般的协变与逆变坐标,并了解了它们之间的运算。

能量、动量与相对论碰撞

为了突出重点,我们在这将直接介绍能量-动量四矢量(the energy-momentum four-vector,简称能动四矢)或四动量(four-momentum),并根据之前的标量积定义,得到著名的质壳关系(mass-shell relation),最后讨论在相对论碰撞中的守恒量,方便我们后面的计算。

对于一个质点,设它的质量为 ,能量为 ,动量在三个方向上的分量为 , , ,则定义它的 四动量 为:

其中 为光速,我们容易得到 。而四动量的标量积为:

上式称为 质壳方程 (mass-shell equation),满足这个方程的粒子就说这个粒子 在壳 (on shell),否则就说这个粒子 不在壳